Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58088 / 86344
↖ ↑ ↗
← S 49.510944°
W 20.456543°		 ← 198.31 m → S 49.510944°
W 20.453796°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.512727°
W 20.456543°		 ← 198.31 m →
39 331 m²		 S 49.512727°
W 20.453796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443180084228516 y=0.658756256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443180084228516 × 217)
    floor (0.443180084228516 × 131072)
    floor (58088.5)     		tx = 58088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658756256103516 × 217)
    floor (0.658756256103516 × 131072)
    floor (86344.5)     		ty = 86344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58088 / 86344 ti = "17/58088/86344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58088/86344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58088 ÷ 217
    58088 ÷ 131072     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86344 ÷ 217
    86344 ÷ 131072     		y = 0.65875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997471007294128))-π/2
    2×atan(0.368810983029591)-π/2
    2×0.35333367335157-π/2
    0.70666734670314-1.57079632675     		φ = -0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58088 KachelY 86344 -0.35703403 -0.86412898 -20.456543 -49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 58089 KachelY 86344 -0.35698609 -0.86412898 -20.453796 -49.510944
    Unten links KachelX 58088 KachelY + 1 86345 -0.35703403 -0.86416011 -20.456543 -49.512727
    Unten rechts KachelX + 1 58089 KachelY + 1 86345 -0.35698609 -0.86416011 -20.453796 -49.512727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86412898--0.86416011) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86412898--0.86416011) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35698609) × cos(-0.86412898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 198.313787791017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35698609) × cos(-0.86416011) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649279123132109 × 6371000     		du = 198.306556649275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86412898)-sin(-0.86416011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649279123132109)×R²
    abs(-0.35698609--0.35703403)×2.3675613398666e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3675613398666e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3675613398666e-05×40589641000000     		ar = 39330.70376071m²