Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58088 / 86328
↖ ↑ ↗
← S 49.482402°
W 20.456543°		 ← 198.43 m → S 49.482402°
W 20.453796°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
S 49.484186°
W 20.456543°		 ← 198.42 m →
39 366 m²		 S 49.484186°
W 20.453796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443180084228516 y=0.658634185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443180084228516 × 217)
    floor (0.443180084228516 × 131072)
    floor (58088.5)     		tx = 58088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658634185791016 × 217)
    floor (0.658634185791016 × 131072)
    floor (86328.5)     		ty = 86328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58088 / 86328 ti = "17/58088/86328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58088/86328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58088 ÷ 217
    58088 ÷ 131072     		x = 0.44317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86328 ÷ 217
    86328 ÷ 131072     		y = 0.65863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35703403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.3172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996704016900207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35703403} λ = -0.35703403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996704016900207))-π/2
    2×atan(0.369093966019492)-π/2
    2×0.353582750484613-π/2
    0.707165500969225-1.57079632675     		φ = -0.86363083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35703403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86363083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.482402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58088 KachelY 86328 -0.35703403 -0.86363083 -20.456543 -49.482402
    Oben rechts KachelX + 1 58089 KachelY 86328 -0.35698609 -0.86363083 -20.453796 -49.482402
    Unten links KachelX 58088 KachelY + 1 86329 -0.35703403 -0.86366197 -20.456543 -49.484186
    Unten rechts KachelX + 1 58089 KachelY + 1 86329 -0.35698609 -0.86366197 -20.453796 -49.484186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86363083--0.86366197) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86363083--0.86366197) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35703403--0.35698609) × cos(-0.86363083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649681576184229 × 6371000     		do = 198.429476170534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35703403--0.35698609) × cos(-0.86366197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649657903040322 × 6371000     		du = 198.422245783038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86363083)-sin(-0.86366197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649681576184229-0.649657903040322)×R²
    abs(-0.35698609--0.35703403)×2.36731439074989e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36731439074989e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36731439074989e-05×40589641000000     		ar = 39366.2899343285m²