Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58087 / 86423
↖ ↑ ↗
← S 49.651626°
W 20.459290°		 ← 197.74 m → S 49.651626°
W 20.456543°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
S 49.653404°
W 20.459290°		 ← 197.74 m →
39 091 m²		 S 49.653404°
W 20.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443172454833984 y=0.659358978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443172454833984 × 217)
    floor (0.443172454833984 × 131072)
    floor (58087.5)     		tx = 58087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659358978271484 × 217)
    floor (0.659358978271484 × 131072)
    floor (86423.5)     		ty = 86423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58087 / 86423 ti = "17/58087/86423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58087/86423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58087 ÷ 217
    58087 ÷ 131072     		x = 0.443168640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86423 ÷ 217
    86423 ÷ 131072     		y = 0.659355163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443168640136719 × 2 - 1) × π
    -0.113662719726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35708197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659355163574219 × 2 - 1) × π
    -0.318710327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00125802236411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35708197} λ = -0.35708197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00125802236411))-π/2
    2×atan(0.367416931591847)-π/2
    2×0.352105983652935-π/2
    0.704211967305871-1.57079632675     		φ = -0.86658436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35708197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.459290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86658436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.651626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58087 KachelY 86423 -0.35708197 -0.86658436 -20.459290 -49.651626
    Oben rechts KachelX + 1 58088 KachelY 86423 -0.35703403 -0.86658436 -20.456543 -49.651626
    Unten links KachelX 58087 KachelY + 1 86424 -0.35708197 -0.86661539 -20.459290 -49.653404
    Unten rechts KachelX + 1 58088 KachelY + 1 86424 -0.35703403 -0.86661539 -20.456543 -49.653404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86658436--0.86661539) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86658436--0.86661539) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35708197--0.35703403) × cos(-0.86658436) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647433453192241 × 6371000     		do = 197.742841542095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35708197--0.35703403) × cos(-0.86661539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		du = 197.735618541915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86658436)-sin(-0.86661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647433453192241-0.647409804235281)×R²
    abs(-0.35703403--0.35708197)×2.36489569594989e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36489569594989e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36489569594989e-05×40589641000000     		ar = 39091.4895744551m²