Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58086 / 86458
↖ ↑ ↗
← S 49.713824°
W 20.462036°		 ← 197.45 m → S 49.713824°
W 20.459290°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.715601°
W 20.462036°		 ← 197.44 m →
38 996 m²		 S 49.715601°
W 20.459290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443164825439453 y=0.659626007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443164825439453 × 217)
    floor (0.443164825439453 × 131072)
    floor (58086.5)     		tx = 58086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659626007080078 × 217)
    floor (0.659626007080078 × 131072)
    floor (86458.5)     		ty = 86458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58086 / 86458 ti = "17/58086/86458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58086/86458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58086 ÷ 217
    58086 ÷ 131072     		x = 0.443161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86458 ÷ 217
    86458 ÷ 131072     		y = 0.659622192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    -0.113677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35712990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659622192382812 × 2 - 1) × π
    -0.319244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00293581385081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35712990} λ = -0.35712990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00293581385081))-π/2
    2×atan(0.366800999439299)-π/2
    2×0.351563201687992-π/2
    0.703126403375984-1.57079632675     		φ = -0.86766992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35712990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.462036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86766992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.713824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58086 KachelY 86458 -0.35712990 -0.86766992 -20.462036 -49.713824
    Oben rechts KachelX + 1 58087 KachelY 86458 -0.35708197 -0.86766992 -20.459290 -49.713824
    Unten links KachelX 58086 KachelY + 1 86459 -0.35712990 -0.86770092 -20.462036 -49.715601
    Unten rechts KachelX + 1 58087 KachelY + 1 86459 -0.35708197 -0.86770092 -20.459290 -49.715601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86766992--0.86770092) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86766992--0.86770092) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35712990--0.35708197) × cos(-0.86766992) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646605742729217 × 6371000     		do = 197.448842209344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35712990--0.35708197) × cos(-0.86770092) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.646582094863179 × 6371000     		du = 197.441621048965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86766992)-sin(-0.86770092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646605742729217-0.646582094863179)×R²
    abs(-0.35708197--0.35712990)×2.36478660384787e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36478660384787e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36478660384787e-05×40589641000000     		ar = 38995.6306951136m²