Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58086 / 38722
↖ ↑ ↗
← N 59.082916°
W 20.462036°		 ← 156.89 m → N 59.082916°
W 20.459290°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.081505°
W 20.462036°		 ← 156.90 m →
24 620 m²		 N 59.081505°
W 20.459290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443164825439453 y=0.295429229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443164825439453 × 217)
    floor (0.443164825439453 × 131072)
    floor (58086.5)     		tx = 58086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295429229736328 × 217)
    floor (0.295429229736328 × 131072)
    floor (38722.5)     		ty = 38722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58086 / 38722 ti = "17/58086/38722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58086/38722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58086 ÷ 217
    58086 ÷ 131072     		x = 0.443161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38722 ÷ 217
    38722 ÷ 131072     		y = 0.295425415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443161010742188 × 2 - 1) × π
    -0.113677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35712990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295425415039062 × 2 - 1) × π
    0.409149169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28538002641219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35712990} λ = -0.35712990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28538002641219))-π/2
    2×atan(3.61604188756085)-π/2
    2×1.30099387407005-π/2
    2.60198774814011-1.57079632675     		φ = 1.03119142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35712990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.462036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03119142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.082916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58086 KachelY 38722 -0.35712990 1.03119142 -20.462036 59.082916
    Oben rechts KachelX + 1 58087 KachelY 38722 -0.35708197 1.03119142 -20.459290 59.082916
    Unten links KachelX 58086 KachelY + 1 38723 -0.35712990 1.03116679 -20.462036 59.081505
    Unten rechts KachelX + 1 58087 KachelY + 1 38723 -0.35708197 1.03116679 -20.459290 59.081505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03119142-1.03116679) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03119142-1.03116679) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35712990--0.35708197) × cos(1.03119142) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513797076662 × 6371000     		do = 156.894118337488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35712990--0.35708197) × cos(1.03116679) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513818206872459 × 6371000     		du = 156.900570701448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03119142)-sin(1.03116679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513797076662-0.513818206872459)×R²
    abs(-0.35708197--0.35712990)×2.11302104589084e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11302104589084e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11302104589084e-05×40589641000000     		ar = 24619.9751462782m²