Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58084 / 86438
↖ ↑ ↗
← S 49.678292°
W 20.467530°		 ← 197.63 m → S 49.678292°
W 20.464783°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 49.680070°
W 20.467530°		 ← 197.63 m →
39 057 m²		 S 49.680070°
W 20.464783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443149566650391 y=0.659473419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443149566650391 × 217)
    floor (0.443149566650391 × 131072)
    floor (58084.5)     		tx = 58084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659473419189453 × 217)
    floor (0.659473419189453 × 131072)
    floor (86438.5)     		ty = 86438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58084 / 86438 ti = "17/58084/86438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58084/86438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58084 ÷ 217
    58084 ÷ 131072     		x = 0.443145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86438 ÷ 217
    86438 ÷ 131072     		y = 0.659469604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.11370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35722578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659469604492188 × 2 - 1) × π
    -0.318939208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00197707585841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35722578} λ = -0.35722578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00197707585841))-π/2
    2×atan(0.367152834124803)-π/2
    2×0.351873277785762-π/2
    0.703746555571525-1.57079632675     		φ = -0.86704977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35722578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86704977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.678292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58084 KachelY 86438 -0.35722578 -0.86704977 -20.467530 -49.678292
    Oben rechts KachelX + 1 58085 KachelY 86438 -0.35717784 -0.86704977 -20.464783 -49.678292
    Unten links KachelX 58084 KachelY + 1 86439 -0.35722578 -0.86708079 -20.467530 -49.680070
    Unten rechts KachelX + 1 58085 KachelY + 1 86439 -0.35717784 -0.86708079 -20.464783 -49.680070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86704977--0.86708079) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86704977--0.86708079) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(-0.86704977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647078683891752 × 6371000     		do = 197.634485865735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(-0.86708079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647055033211936 × 6371000     		du = 197.62726233935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86704977)-sin(-0.86708079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647078683891752-0.647055033211936)×R²
    abs(-0.35717784--0.35722578)×2.3650679816023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3650679816023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3650679816023e-05×40589641000000     		ar = 39057.4773951049m²