Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58084 / 86388
↖ ↑ ↗
← S 49.589349°
W 20.467530°		 ← 198 m → S 49.589349°
W 20.464783°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 49.591129°
W 20.467530°		 ← 197.99 m →
39 192 m²		 S 49.591129°
W 20.464783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443149566650391 y=0.659091949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443149566650391 × 217)
    floor (0.443149566650391 × 131072)
    floor (58084.5)     		tx = 58084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659091949462891 × 217)
    floor (0.659091949462891 × 131072)
    floor (86388.5)     		ty = 86388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58084 / 86388 ti = "17/58084/86388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58084/86388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58084 ÷ 217
    58084 ÷ 131072     		x = 0.443145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86388 ÷ 217
    86388 ÷ 131072     		y = 0.659088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.11370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35722578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.31817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.999580230877411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35722578} λ = -0.35722578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999580230877411))-π/2
    2×atan(0.368033898017521)-π/2
    2×0.352649460107005-π/2
    0.705298920214009-1.57079632675     		φ = -0.86549741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35722578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86549741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.589349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58084 KachelY 86388 -0.35722578 -0.86549741 -20.467530 -49.589349
    Oben rechts KachelX + 1 58085 KachelY 86388 -0.35717784 -0.86549741 -20.464783 -49.589349
    Unten links KachelX 58084 KachelY + 1 86389 -0.35722578 -0.86552848 -20.467530 -49.591129
    Unten rechts KachelX + 1 58085 KachelY + 1 86389 -0.35717784 -0.86552848 -20.464783 -49.591129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86549741--0.86552848) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86549741--0.86552848) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(-0.86549741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64826145906491 × 6371000     		do = 197.99573584825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(-0.86552848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648237801500673 × 6371000     		du = 197.988510219186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86549741)-sin(-0.86552848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64826145906491-0.648237801500673)×R²
    abs(-0.35717784--0.35722578)×2.36575642366121e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36575642366121e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36575642366121e-05×40589641000000     		ar = 39191.9408416492m²