Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58084 / 38726
↖ ↑ ↗
← N 59.077271°
W 20.467530°		 ← 156.95 m → N 59.077271°
W 20.464783°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.075860°
W 20.467530°		 ← 156.96 m →
24 629 m²		 N 59.075860°
W 20.464783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443149566650391 y=0.295459747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443149566650391 × 217)
    floor (0.443149566650391 × 131072)
    floor (58084.5)     		tx = 58084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295459747314453 × 217)
    floor (0.295459747314453 × 131072)
    floor (38726.5)     		ty = 38726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58084 / 38726 ti = "17/58084/38726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58084/38726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58084 ÷ 217
    58084 ÷ 131072     		x = 0.443145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38726 ÷ 217
    38726 ÷ 131072     		y = 0.295455932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.11370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35722578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295455932617188 × 2 - 1) × π
    0.409088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28518827881371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35722578} λ = -0.35722578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28518827881371))-π/2
    2×atan(3.61534858668442)-π/2
    2×1.30094461034057-π/2
    2.60188922068115-1.57079632675     		φ = 1.03109289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35722578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.467530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03109289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.077271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58084 KachelY 38726 -0.35722578 1.03109289 -20.467530 59.077271
    Oben rechts KachelX + 1 58085 KachelY 38726 -0.35717784 1.03109289 -20.464783 59.077271
    Unten links KachelX 58084 KachelY + 1 38727 -0.35722578 1.03106826 -20.467530 59.075860
    Unten rechts KachelX + 1 58085 KachelY + 1 38727 -0.35717784 1.03106826 -20.464783 59.075860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03109289-1.03106826) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03109289-1.03106826) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(1.03109289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51388160421219 × 6371000     		do = 156.952669238792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35722578--0.35717784) × cos(1.03106826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513902733175641 × 6371000     		du = 156.95912256809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03109289)-sin(1.03106826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51388160421219-0.513902733175641)×R²
    abs(-0.35717784--0.35722578)×2.11289634511891e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11289634511891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11289634511891e-05×40589641000000     		ar = 24629.1628965498m²