Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58082 / 81646
↖ ↑ ↗
← S 40.409314°
W 20.473022°		 ← 232.56 m → S 40.409314°
W 20.470276°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
S 40.411405°
W 20.473022°		 ← 232.55 m →
54 079 m²		 S 40.411405°
W 20.470276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443134307861328 y=0.622913360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443134307861328 × 217)
    floor (0.443134307861328 × 131072)
    floor (58082.5)     		tx = 58082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622913360595703 × 217)
    floor (0.622913360595703 × 131072)
    floor (81646.5)     		ty = 81646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58082 / 81646 ti = "17/58082/81646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58082/81646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58082 ÷ 217
    58082 ÷ 131072     		x = 0.443130493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81646 ÷ 217
    81646 ÷ 131072     		y = 0.622909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443130493164062 × 2 - 1) × π
    -0.113739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35732165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    -0.245819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772263452879105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35732165} λ = -0.35732165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772263452879105))-π/2
    2×atan(0.461966245212999)-π/2
    2×0.43276037885172-π/2
    0.86552075770344-1.57079632675     		φ = -0.70527557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35732165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.473022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70527557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.409314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58082 KachelY 81646 -0.35732165 -0.70527557 -20.473022 -40.409314
    Oben rechts KachelX + 1 58083 KachelY 81646 -0.35727371 -0.70527557 -20.470276 -40.409314
    Unten links KachelX 58082 KachelY + 1 81647 -0.35732165 -0.70531207 -20.473022 -40.411405
    Unten rechts KachelX + 1 58083 KachelY + 1 81647 -0.35727371 -0.70531207 -20.470276 -40.411405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70527557--0.70531207) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70527557--0.70531207) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35732165--0.35727371) × cos(-0.70527557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761432944163974 × 6371000     		do = 232.561220431508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35732165--0.35727371) × cos(-0.70531207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761409282762368 × 6371000     		du = 232.553993630413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70527557)-sin(-0.70531207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761432944163974-0.761409282762368)×R²
    abs(-0.35727371--0.35732165)×2.36614016053682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36614016053682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36614016053682e-05×40589641000000     		ar = 54079.2947814114m²