Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58081 / 86429
↖ ↑ ↗
← S 49.662294°
W 20.475769°		 ← 197.70 m → S 49.662294°
W 20.473022°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
S 49.664072°
W 20.475769°		 ← 197.69 m →
39 083 m²		 S 49.664072°
W 20.473022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443126678466797 y=0.659404754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443126678466797 × 217)
    floor (0.443126678466797 × 131072)
    floor (58081.5)     		tx = 58081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659404754638672 × 217)
    floor (0.659404754638672 × 131072)
    floor (86429.5)     		ty = 86429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58081 / 86429 ti = "17/58081/86429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58081/86429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58081 ÷ 217
    58081 ÷ 131072     		x = 0.443122863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86429 ÷ 217
    86429 ÷ 131072     		y = 0.659400939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443122863769531 × 2 - 1) × π
    -0.113754272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35736959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659400939941406 × 2 - 1) × π
    -0.318801879882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00154564376183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35736959} λ = -0.35736959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00154564376183))-π/2
    2×atan(0.367311269816458)-π/2
    2×0.352012886000045-π/2
    0.704025772000089-1.57079632675     		φ = -0.86677055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35736959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.475769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86677055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.662294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58081 KachelY 86429 -0.35736959 -0.86677055 -20.475769 -49.662294
    Oben rechts KachelX + 1 58082 KachelY 86429 -0.35732165 -0.86677055 -20.473022 -49.662294
    Unten links KachelX 58081 KachelY + 1 86430 -0.35736959 -0.86680158 -20.475769 -49.664072
    Unten rechts KachelX + 1 58082 KachelY + 1 86430 -0.35732165 -0.86680158 -20.473022 -49.664072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86677055--0.86680158) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86677055--0.86680158) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35736959--0.35732165) × cos(-0.86677055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64729154247803 × 6371000     		do = 197.699498357193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35736959--0.35732165) × cos(-0.86680158) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647267889781017 × 6371000     		du = 197.692274214705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86677055)-sin(-0.86680158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64729154247803-0.647267889781017)×R²
    abs(-0.35732165--0.35736959)×2.36526970123219e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36526970123219e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36526970123219e-05×40589641000000     		ar = 39082.9208551408m²