Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58081 / 28033
↖ ↑ ↗
← N 71.186868°
W 20.475769°		 ← 98.49 m → N 71.186868°
W 20.473022°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 71.185983°
W 20.475769°		 ← 98.50 m →
9 695 m²		 N 71.185983°
W 20.473022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443126678466797 y=0.213878631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443126678466797 × 217)
    floor (0.443126678466797 × 131072)
    floor (58081.5)     		tx = 58081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213878631591797 × 217)
    floor (0.213878631591797 × 131072)
    floor (28033.5)     		ty = 28033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58081 / 28033 ti = "17/58081/28033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58081/28033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58081 ÷ 217
    58081 ÷ 131072     		x = 0.443122863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28033 ÷ 217
    28033 ÷ 131072     		y = 0.213874816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443122863769531 × 2 - 1) × π
    -0.113754272460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35736959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213874816894531 × 2 - 1) × π
    0.572250366210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79777754645097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35736959} λ = -0.35736959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79777754645097))-π/2
    2×atan(6.03621733338439)-π/2
    2×1.40662078064071-π/2
    2.81324156128142-1.57079632675     		φ = 1.24244523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35736959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.475769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24244523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.186868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58081 KachelY 28033 -0.35736959 1.24244523 -20.475769 71.186868
    Oben rechts KachelX + 1 58082 KachelY 28033 -0.35732165 1.24244523 -20.473022 71.186868
    Unten links KachelX 58081 KachelY + 1 28034 -0.35736959 1.24242978 -20.475769 71.185983
    Unten rechts KachelX + 1 58082 KachelY + 1 28034 -0.35732165 1.24242978 -20.473022 71.185983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24244523-1.24242978) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24244523-1.24242978) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35736959--0.35732165) × cos(1.24244523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322482656332096 × 6371000     		do = 98.4945039474457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35736959--0.35732165) × cos(1.24242978) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322497280883117 × 6371000     		du = 98.4989706617632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24244523)-sin(1.24242978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322482656332096-0.322497280883117)×R²
    abs(-0.35732165--0.35736959)×1.46245510202481e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.46245510202481e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.46245510202481e-05×40589641000000     		ar = 9695.22592179678m²