Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58080 / 86304
↖ ↑ ↗
← S 49.439557°
W 20.478515°		 ← 198.56 m → S 49.439557°
W 20.475769°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.441343°
W 20.478515°		 ← 198.55 m →
39 430 m²		 S 49.441343°
W 20.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443119049072266 y=0.658451080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443119049072266 × 217)
    floor (0.443119049072266 × 131072)
    floor (58080.5)     		tx = 58080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658451080322266 × 217)
    floor (0.658451080322266 × 131072)
    floor (86304.5)     		ty = 86304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58080 / 86304 ti = "17/58080/86304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58080/86304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58080 ÷ 217
    58080 ÷ 131072     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86304 ÷ 217
    86304 ÷ 131072     		y = 0.658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995553531309326))-π/2
    2×atan(0.369518847672323)-π/2
    2×0.353956638576303-π/2
    0.707913277152607-1.57079632675     		φ = -0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58080 KachelY 86304 -0.35741752 -0.86288305 -20.478515 -49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 58081 KachelY 86304 -0.35736959 -0.86288305 -20.475769 -49.439557
    Unten links KachelX 58080 KachelY + 1 86305 -0.35741752 -0.86291422 -20.478515 -49.441343
    Unten rechts KachelX + 1 58081 KachelY + 1 86305 -0.35736959 -0.86291422 -20.475769 -49.441343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86288305--0.86291422) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86288305--0.86291422) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35736959) × cos(-0.86288305) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 198.561617766376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35736959) × cos(-0.86291422) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650226180867678 × 6371000     		du = 198.554386548793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86288305)-sin(-0.86291422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.650226180867678)×R²
    abs(-0.35736959--0.35741752)×2.3680801385928e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3680801385928e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3680801385928e-05×40589641000000     		ar = 39430.4562027073m²