Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58079 / 85486
↖ ↑ ↗
← S 47.956824°
W 20.481262°		 ← 204.54 m → S 47.956824°
W 20.478515°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 47.958663°
W 20.481262°		 ← 204.53 m →
41 843 m²		 S 47.958663°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443111419677734 y=0.652210235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443111419677734 × 217)
    floor (0.443111419677734 × 131072)
    floor (58079.5)     		tx = 58079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652210235595703 × 217)
    floor (0.652210235595703 × 131072)
    floor (85486.5)     		ty = 85486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58079 / 85486 ti = "17/58079/85486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58079/85486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58079 ÷ 217
    58079 ÷ 131072     		x = 0.443107604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85486 ÷ 217
    85486 ÷ 131072     		y = 0.652206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443107604980469 × 2 - 1) × π
    -0.113784790039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35746546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652206420898438 × 2 - 1) × π
    -0.304412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.95634114742012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35746546} λ = -0.35746546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95634114742012))-π/2
    2×atan(0.384296400659681)-π/2
    2×0.36689592634787-π/2
    0.733791852695741-1.57079632675     		φ = -0.83700447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35746546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.481262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83700447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.956824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58079 KachelY 85486 -0.35746546 -0.83700447 -20.481262 -47.956824
    Oben rechts KachelX + 1 58080 KachelY 85486 -0.35741752 -0.83700447 -20.478515 -47.956824
    Unten links KachelX 58079 KachelY + 1 85487 -0.35746546 -0.83703658 -20.481262 -47.958663
    Unten rechts KachelX + 1 58080 KachelY + 1 85487 -0.35741752 -0.83703658 -20.478515 -47.958663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83700447--0.83703658) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83700447--0.83703658) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35746546--0.35741752) × cos(-0.83700447) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669690428674069 × 6371000     		do = 204.540694748798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35746546--0.35741752) × cos(-0.83703658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669666582146321 × 6371000     		du = 204.533411405414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83700447)-sin(-0.83703658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669690428674069-0.669666582146321)×R²
    abs(-0.35741752--0.35746546)×2.38465277484501e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38465277484501e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38465277484501e-05×40589641000000     		ar = 41842.7197007904m²