Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58078 / 81638
↖ ↑ ↗
← S 40.392581°
W 20.484009°		 ← 232.62 m → S 40.392581°
W 20.481262°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 40.394673°
W 20.484009°		 ← 232.61 m →
54 108 m²		 S 40.394673°
W 20.481262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443103790283203 y=0.622852325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443103790283203 × 217)
    floor (0.443103790283203 × 131072)
    floor (58078.5)     		tx = 58078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622852325439453 × 217)
    floor (0.622852325439453 × 131072)
    floor (81638.5)     		ty = 81638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58078 / 81638 ti = "17/58078/81638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58078/81638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58078 ÷ 217
    58078 ÷ 131072     		x = 0.443099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81638 ÷ 217
    81638 ÷ 131072     		y = 0.622848510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443099975585938 × 2 - 1) × π
    -0.113800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35751340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.245697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.771879957682144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35751340} λ = -0.35751340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771879957682144))-π/2
    2×atan(0.462143441023896)-π/2
    2×0.432906399937753-π/2
    0.865812799875505-1.57079632675     		φ = -0.70498353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35751340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.484009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70498353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.392581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58078 KachelY 81638 -0.35751340 -0.70498353 -20.484009 -40.392581
    Oben rechts KachelX + 1 58079 KachelY 81638 -0.35746546 -0.70498353 -20.481262 -40.392581
    Unten links KachelX 58078 KachelY + 1 81639 -0.35751340 -0.70502004 -20.484009 -40.394673
    Unten rechts KachelX + 1 58079 KachelY + 1 81639 -0.35746546 -0.70502004 -20.481262 -40.394673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70498353--0.70502004) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70498353--0.70502004) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35751340--0.35746546) × cos(-0.70498353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761622224775936 × 6371000     		do = 232.619031602484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35751340--0.35746546) × cos(-0.70502004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761598565011187 × 6371000     		du = 232.611805301327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70498353)-sin(-0.70502004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761622224775936-0.761598565011187)×R²
    abs(-0.35746546--0.35751340)×2.36597647493841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36597647493841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36597647493841e-05×40589641000000     		ar = 54107.558264112m²