Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58077 / 85537
↖ ↑ ↗
← S 48.050546°
W 20.486755°		 ← 204.13 m → S 48.050546°
W 20.484009°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 48.052382°
W 20.486755°		 ← 204.12 m →
41 680 m²		 S 48.052382°
W 20.484009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443096160888672 y=0.652599334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443096160888672 × 217)
    floor (0.443096160888672 × 131072)
    floor (58077.5)     		tx = 58077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652599334716797 × 217)
    floor (0.652599334716797 × 131072)
    floor (85537.5)     		ty = 85537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58077 / 85537 ti = "17/58077/85537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58077/85537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58077 ÷ 217
    58077 ÷ 131072     		x = 0.443092346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85537 ÷ 217
    85537 ÷ 131072     		y = 0.652595520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443092346191406 × 2 - 1) × π
    -0.113815307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35756133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652595520019531 × 2 - 1) × π
    -0.305191040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.958785929300743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35756133} λ = -0.35756133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958785929300743))-π/2
    2×atan(0.383358027309027)-π/2
    2×0.366078045897985-π/2
    0.73215609179597-1.57079632675     		φ = -0.83864023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35756133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.486755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83864023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.050546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58077 KachelY 85537 -0.35756133 -0.83864023 -20.486755 -48.050546
    Oben rechts KachelX + 1 58078 KachelY 85537 -0.35751340 -0.83864023 -20.484009 -48.050546
    Unten links KachelX 58077 KachelY + 1 85538 -0.35756133 -0.83867228 -20.486755 -48.052382
    Unten rechts KachelX + 1 58078 KachelY + 1 85538 -0.35751340 -0.83867228 -20.484009 -48.052382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83864023--0.83867228) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dl = 204.19055000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83864023--0.83867228) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dr = 204.19055000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35756133--0.35751340) × cos(-0.83864023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668474751843762 × 6371000     		do = 204.126807226882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35756133--0.35751340) × cos(-0.83867228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.668450914798945 × 6371000     		du = 204.119528298488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83864023)-sin(-0.83867228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668474751843762-0.668450914798945)×R²
    abs(-0.35751340--0.35756133)×2.38370448163439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38370448163439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38370448163439e-05×40589641000000     		ar = 41680.0218967993m²