Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58076 / 28028
↖ ↑ ↗
← N 71.191296°
W 20.489502°		 ← 98.47 m → N 71.191296°
W 20.486755°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
N 71.190411°
W 20.489502°		 ← 98.48 m →
9 699 m²		 N 71.190411°
W 20.486755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443088531494141 y=0.213840484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443088531494141 × 217)
    floor (0.443088531494141 × 131072)
    floor (58076.5)     		tx = 58076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213840484619141 × 217)
    floor (0.213840484619141 × 131072)
    floor (28028.5)     		ty = 28028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58076 / 28028 ti = "17/58076/28028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58076/28028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58076 ÷ 217
    58076 ÷ 131072     		x = 0.443084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28028 ÷ 217
    28028 ÷ 131072     		y = 0.213836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.11383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35760927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213836669921875 × 2 - 1) × π
    0.57232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79801723094907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35760927} λ = -0.35760927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79801723094907))-π/2
    2×atan(6.03766429450652)-π/2
    2×1.4066594233032-π/2
    2.8133188466064-1.57079632675     		φ = 1.24252252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35760927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.489502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24252252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.191296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58076 KachelY 28028 -0.35760927 1.24252252 -20.489502 71.191296
    Oben rechts KachelX + 1 58077 KachelY 28028 -0.35756133 1.24252252 -20.486755 71.191296
    Unten links KachelX 58076 KachelY + 1 28029 -0.35760927 1.24250706 -20.489502 71.190411
    Unten rechts KachelX + 1 58077 KachelY + 1 28029 -0.35756133 1.24250706 -20.486755 71.190411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24252252-1.24250706) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24252252-1.24250706) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35760927--0.35756133) × cos(1.24252252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322409494558392 × 6371000     		do = 98.4721584584583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35760927--0.35756133) × cos(1.24250706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322424128960417 × 6371000     		du = 98.4766281815261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24252252)-sin(1.24250706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322409494558392-0.322424128960417)×R²
    abs(-0.35756133--0.35760927)×1.46344020247602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46344020247602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46344020247602e-05×40589641000000     		ar = 9699.30036324664m²