Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58075 / 85539
↖ ↑ ↗
← S 48.054218°
W 20.492249°		 ← 204.15 m → S 48.054218°
W 20.489502°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
S 48.056054°
W 20.492249°		 ← 204.15 m →
41 673 m²		 S 48.056054°
W 20.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443080902099609 y=0.652614593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443080902099609 × 217)
    floor (0.443080902099609 × 131072)
    floor (58075.5)     		tx = 58075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652614593505859 × 217)
    floor (0.652614593505859 × 131072)
    floor (85539.5)     		ty = 85539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58075 / 85539 ti = "17/58075/85539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58075/85539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58075 ÷ 217
    58075 ÷ 131072     		x = 0.443077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85539 ÷ 217
    85539 ÷ 131072     		y = 0.652610778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443077087402344 × 2 - 1) × π
    -0.113845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35765721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652610778808594 × 2 - 1) × π
    -0.305221557617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.958881803099983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35765721} λ = -0.35765721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958881803099983))-π/2
    2×atan(0.383321275080296)-π/2
    2×0.366046002433545-π/2
    0.732092004867091-1.57079632675     		φ = -0.83870432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35765721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83870432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.054218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58075 KachelY 85539 -0.35765721 -0.83870432 -20.492249 -48.054218
    Oben rechts KachelX + 1 58076 KachelY 85539 -0.35760927 -0.83870432 -20.489502 -48.054218
    Unten links KachelX 58075 KachelY + 1 85540 -0.35765721 -0.83873636 -20.492249 -48.056054
    Unten rechts KachelX + 1 58076 KachelY + 1 85540 -0.35760927 -0.83873636 -20.489502 -48.056054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83870432--0.83873636) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83870432--0.83873636) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(-0.83870432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668427084505271 × 6371000     		do = 204.154836921168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(-0.83873636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668403253525416 × 6371000     		du = 204.14755832651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83870432)-sin(-0.83873636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668427084505271-0.668403253525416)×R²
    abs(-0.35760927--0.35765721)×2.3830979855588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3830979855588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3830979855588e-05×40589641000000     		ar = 41672.7388567795m²