Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58075 / 81644
↖ ↑ ↗
← S 40.405131°
W 20.492249°		 ← 232.58 m → S 40.405131°
W 20.489502°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
S 40.407222°
W 20.492249°		 ← 232.57 m →
54 083 m²		 S 40.407222°
W 20.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443080902099609 y=0.622898101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443080902099609 × 217)
    floor (0.443080902099609 × 131072)
    floor (58075.5)     		tx = 58075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622898101806641 × 217)
    floor (0.622898101806641 × 131072)
    floor (81644.5)     		ty = 81644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58075 / 81644 ti = "17/58075/81644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58075/81644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58075 ÷ 217
    58075 ÷ 131072     		x = 0.443077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81644 ÷ 217
    81644 ÷ 131072     		y = 0.622894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443077087402344 × 2 - 1) × π
    -0.113845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35765721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.24578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772167579079865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35765721} λ = -0.35765721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772167579079865))-π/2
    2×atan(0.462010537795263)-π/2
    2×0.432796880720604-π/2
    0.865593761441208-1.57079632675     		φ = -0.70520257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35765721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70520257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.405131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58075 KachelY 81644 -0.35765721 -0.70520257 -20.492249 -40.405131
    Oben rechts KachelX + 1 58076 KachelY 81644 -0.35760927 -0.70520257 -20.489502 -40.405131
    Unten links KachelX 58075 KachelY + 1 81645 -0.35765721 -0.70523907 -20.492249 -40.407222
    Unten rechts KachelX + 1 58076 KachelY + 1 81645 -0.35760927 -0.70523907 -20.489502 -40.407222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70520257--0.70523907) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70520257--0.70523907) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(-0.70520257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761480263923896 × 6371000     		do = 232.575673104468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(-0.70523907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76145660455116 × 6371000     		du = 232.568446923042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70520257)-sin(-0.70523907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761480263923896-0.76145660455116)×R²
    abs(-0.35760927--0.35765721)×2.36593727358514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36593727358514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36593727358514e-05×40589641000000     		ar = 54082.6556997125m²