Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58075 / 28031
↖ ↑ ↗
← N 71.188640°
W 20.492249°		 ← 98.49 m → N 71.188640°
W 20.489502°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
N 71.187754°
W 20.492249°		 ← 98.49 m →
9 701 m²		 N 71.187754°
W 20.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443080902099609 y=0.213863372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443080902099609 × 217)
    floor (0.443080902099609 × 131072)
    floor (58075.5)     		tx = 58075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213863372802734 × 217)
    floor (0.213863372802734 × 131072)
    floor (28031.5)     		ty = 28031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58075 / 28031 ti = "17/58075/28031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58075/28031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58075 ÷ 217
    58075 ÷ 131072     		x = 0.443077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28031 ÷ 217
    28031 ÷ 131072     		y = 0.213859558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443077087402344 × 2 - 1) × π
    -0.113845825195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35765721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213859558105469 × 2 - 1) × π
    0.572280883789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.79787342025021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35765721} λ = -0.35765721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79787342025021))-π/2
    2×atan(6.03679607621588)-π/2
    2×1.40663623875779-π/2
    2.81327247751559-1.57079632675     		φ = 1.24247615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35765721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.492249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24247615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.188640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58075 KachelY 28031 -0.35765721 1.24247615 -20.492249 71.188640
    Oben rechts KachelX + 1 58076 KachelY 28031 -0.35760927 1.24247615 -20.489502 71.188640
    Unten links KachelX 58075 KachelY + 1 28032 -0.35765721 1.24246069 -20.492249 71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 58076 KachelY + 1 28032 -0.35760927 1.24246069 -20.489502 71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24247615-1.24246069) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24247615-1.24246069) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(1.24247615) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32245338806742 × 6371000     		do = 98.4855646660485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35765721--0.35760927) × cos(1.24246069) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 98.4900343185172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24247615)-sin(1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32245338806742-0.322468022238295)×R²
    abs(-0.35760927--0.35765721)×1.46341708748277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.46341708748277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.46341708748277e-05×40589641000000     		ar = 9700.62081300839m²