Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58073 / 86455
↖ ↑ ↗
← S 49.708496°
W 20.497742°		 ← 197.51 m → S 49.708496°
W 20.494995°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.710273°
W 20.497742°		 ← 197.50 m →
39 008 m²		 S 49.710273°
W 20.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443065643310547 y=0.659603118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443065643310547 × 217)
    floor (0.443065643310547 × 131072)
    floor (58073.5)     		tx = 58073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659603118896484 × 217)
    floor (0.659603118896484 × 131072)
    floor (86455.5)     		ty = 86455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58073 / 86455 ti = "17/58073/86455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58073/86455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58073 ÷ 217
    58073 ÷ 131072     		x = 0.443061828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86455 ÷ 217
    86455 ÷ 131072     		y = 0.659599304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443061828613281 × 2 - 1) × π
    -0.113876342773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35775308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659599304199219 × 2 - 1) × π
    -0.319198608398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00279200315195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35775308} λ = -0.35775308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00279200315195))-π/2
    2×atan(0.366853753140554)-π/2
    2×0.351609698649977-π/2
    0.703219397299955-1.57079632675     		φ = -0.86757693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35775308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.497742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86757693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.708496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58073 KachelY 86455 -0.35775308 -0.86757693 -20.497742 -49.708496
    Oben rechts KachelX + 1 58074 KachelY 86455 -0.35770514 -0.86757693 -20.494995 -49.708496
    Unten links KachelX 58073 KachelY + 1 86456 -0.35775308 -0.86760793 -20.497742 -49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 58074 KachelY + 1 86456 -0.35770514 -0.86760793 -20.494995 -49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86757693--0.86760793) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86757693--0.86760793) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35775308--0.35770514) × cos(-0.86757693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646676674971271 × 6371000     		do = 197.511701993939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35775308--0.35770514) × cos(-0.86760793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 197.504479896278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86757693)-sin(-0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646676674971271-0.646653028969264)×R²
    abs(-0.35770514--0.35775308)×2.36460020064388e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36460020064388e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36460020064388e-05×40589641000000     		ar = 39008.0454728289m²