Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58072 / 86313
↖ ↑ ↗
← S 49.455628°
W 20.500488°		 ← 198.54 m → S 49.455628°
W 20.497742°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.457413°
W 20.500488°		 ← 198.53 m →
39 413 m²		 S 49.457413°
W 20.497742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443058013916016 y=0.658519744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443058013916016 × 217)
    floor (0.443058013916016 × 131072)
    floor (58072.5)     		tx = 58072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658519744873047 × 217)
    floor (0.658519744873047 × 131072)
    floor (86313.5)     		ty = 86313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58072 / 86313 ti = "17/58072/86313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58072/86313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58072 ÷ 217
    58072 ÷ 131072     		x = 0.44305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86313 ÷ 217
    86313 ÷ 131072     		y = 0.658515930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658515930175781 × 2 - 1) × π
    -0.317031860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.995984963405907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35780102} λ = -0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995984963405907))-π/2
    2×atan(0.369359459766147)-π/2
    2×0.353816392232895-π/2
    0.70763278446579-1.57079632675     		φ = -0.86316354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86316354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.455628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58072 KachelY 86313 -0.35780102 -0.86316354 -20.500488 -49.455628
    Oben rechts KachelX + 1 58073 KachelY 86313 -0.35775308 -0.86316354 -20.497742 -49.455628
    Unten links KachelX 58072 KachelY + 1 86314 -0.35780102 -0.86319470 -20.500488 -49.457413
    Unten rechts KachelX + 1 58073 KachelY + 1 86314 -0.35775308 -0.86319470 -20.497742 -49.457413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86316354--0.86319470) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86316354--0.86319470) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35780102--0.35775308) × cos(-0.86316354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650036742112012 × 6371000     		do = 198.53795298685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35780102--0.35775308) × cos(-0.86319470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650013063225839 × 6371000     		du = 198.530720845518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86316354)-sin(-0.86319470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650036742112012-0.650013063225839)×R²
    abs(-0.35775308--0.35780102)×2.36788861726067e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36788861726067e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36788861726067e-05×40589641000000     		ar = 39413.10804012m²