Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58071 / 86503
↖ ↑ ↗
← S 49.793677°
W 20.503235°		 ← 197.17 m → S 49.793677°
W 20.500488°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.795450°
W 20.503235°		 ← 197.16 m →
38 864 m²		 S 49.795450°
W 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443050384521484 y=0.659969329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443050384521484 × 217)
    floor (0.443050384521484 × 131072)
    floor (58071.5)     		tx = 58071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659969329833984 × 217)
    floor (0.659969329833984 × 131072)
    floor (86503.5)     		ty = 86503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58071 / 86503 ti = "17/58071/86503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58071/86503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58071 ÷ 217
    58071 ÷ 131072     		x = 0.443046569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86503 ÷ 217
    86503 ÷ 131072     		y = 0.659965515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443046569824219 × 2 - 1) × π
    -0.113906860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35784896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659965515136719 × 2 - 1) × π
    -0.319931030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00509297433372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35784896} λ = -0.35784896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00509297433372))-π/2
    2×atan(0.366010603630021)-π/2
    2×0.350866359234972-π/2
    0.701732718469945-1.57079632675     		φ = -0.86906361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35784896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.503235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86906361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.793677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58071 KachelY 86503 -0.35784896 -0.86906361 -20.503235 -49.793677
    Oben rechts KachelX + 1 58072 KachelY 86503 -0.35780102 -0.86906361 -20.500488 -49.793677
    Unten links KachelX 58071 KachelY + 1 86504 -0.35784896 -0.86909455 -20.503235 -49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 58072 KachelY + 1 86504 -0.35780102 -0.86909455 -20.500488 -49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86906361--0.86909455) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86906361--0.86909455) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.86906361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645541974408355 × 6371000     		do = 197.165135234604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.86909455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 197.157918038395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86906361)-sin(-0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645541974408355-0.645518344454283)×R²
    abs(-0.35780102--0.35784896)×2.362995407168e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.362995407168e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.362995407168e-05×40589641000000     		ar = 38864.2317103114m²