Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58071 / 85554
↖ ↑ ↗
← S 48.081749°
W 20.503235°		 ← 204.05 m → S 48.081749°
W 20.500488°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.083584°
W 20.503235°		 ← 204.04 m →
41 624 m²		 S 48.083584°
W 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443050384521484 y=0.652729034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443050384521484 × 217)
    floor (0.443050384521484 × 131072)
    floor (58071.5)     		tx = 58071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652729034423828 × 217)
    floor (0.652729034423828 × 131072)
    floor (85554.5)     		ty = 85554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58071 / 85554 ti = "17/58071/85554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58071/85554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58071 ÷ 217
    58071 ÷ 131072     		x = 0.443046569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85554 ÷ 217
    85554 ÷ 131072     		y = 0.652725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443046569824219 × 2 - 1) × π
    -0.113906860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35784896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    -0.305450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.959600856594284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35784896} λ = -0.35784896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959600856594284))-π/2
    2×atan(0.383045745650081)-π/2
    2×0.365805749279245-π/2
    0.73161149855849-1.57079632675     		φ = -0.83918483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35784896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.503235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83918483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.081749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58071 KachelY 85554 -0.35784896 -0.83918483 -20.503235 -48.081749
    Oben rechts KachelX + 1 58072 KachelY 85554 -0.35780102 -0.83918483 -20.500488 -48.081749
    Unten links KachelX 58071 KachelY + 1 85555 -0.35784896 -0.83921685 -20.503235 -48.083584
    Unten rechts KachelX + 1 58072 KachelY + 1 85555 -0.35780102 -0.83921685 -20.500488 -48.083584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83918483--0.83921685) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83918483--0.83921685) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.83918483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668069614740966 × 6371000     		do = 204.045656453641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.83921685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668045788355653 × 6371000     		du = 204.038379262275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83918483)-sin(-0.83921685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668069614740966-0.668045788355653)×R²
    abs(-0.35780102--0.35784896)×2.38263853132858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38263853132858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38263853132858e-05×40589641000000     		ar = 41624.4533021209m²