Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58071 / 81640
↖ ↑ ↗
← S 40.396764°
W 20.503235°		 ← 232.60 m → S 40.396764°
W 20.500488°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 40.398856°
W 20.503235°		 ← 232.60 m →
54 104 m²		 S 40.398856°
W 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443050384521484 y=0.622867584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443050384521484 × 217)
    floor (0.443050384521484 × 131072)
    floor (58071.5)     		tx = 58071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622867584228516 × 217)
    floor (0.622867584228516 × 131072)
    floor (81640.5)     		ty = 81640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58071 / 81640 ti = "17/58071/81640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58071/81640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58071 ÷ 217
    58071 ÷ 131072     		x = 0.443046569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81640 ÷ 217
    81640 ÷ 131072     		y = 0.62286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443046569824219 × 2 - 1) × π
    -0.113906860351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35784896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.771975831481384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35784896} λ = -0.35784896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771975831481384))-π/2
    2×atan(0.462099135700305)-π/2
    2×0.432869891263674-π/2
    0.865739782527348-1.57079632675     		φ = -0.70505654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35784896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.503235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70505654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.396764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58071 KachelY 81640 -0.35784896 -0.70505654 -20.503235 -40.396764
    Oben rechts KachelX + 1 58072 KachelY 81640 -0.35780102 -0.70505654 -20.500488 -40.396764
    Unten links KachelX 58071 KachelY + 1 81641 -0.35784896 -0.70509305 -20.503235 -40.398856
    Unten rechts KachelX + 1 58072 KachelY + 1 81641 -0.35780102 -0.70509305 -20.500488 -40.398856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70505654--0.70509305) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dl = 232.605210000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70505654--0.70509305) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dr = 232.605210000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.70505654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76157491071201 × 6371000     		do = 232.604580669497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35784896--0.35780102) × cos(-0.70509305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761551248917179 × 6371000     		du = 232.597353748301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70505654)-sin(-0.70509305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76157491071201-0.761551248917179)×R²
    abs(-0.35780102--0.35784896)×2.36617948313755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36617948313755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36617948313755e-05×40589641000000     		ar = 54104.1968297667m²