Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58070 / 81603
↖ ↑ ↗
← S 40.319326°
W 20.505981°		 ← 232.82 m → S 40.319326°
W 20.503235°		 →
↑
232.86 m
↓
↑
232.86 m
↓
S 40.321420°
W 20.505981°		 ← 232.82 m →
54 214 m²		 S 40.321420°
W 20.503235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443042755126953 y=0.622585296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443042755126953 × 217)
    floor (0.443042755126953 × 131072)
    floor (58070.5)     		tx = 58070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622585296630859 × 217)
    floor (0.622585296630859 × 131072)
    floor (81603.5)     		ty = 81603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58070 / 81603 ti = "17/58070/81603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58070/81603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58070 ÷ 217
    58070 ÷ 131072     		x = 0.443038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81603 ÷ 217
    81603 ÷ 131072     		y = 0.622581481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443038940429688 × 2 - 1) × π
    -0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622581481933594 × 2 - 1) × π
    -0.245162963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.770202166195442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35789689} λ = -0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770202166195442))-π/2
    2×atan(0.462919472182073)-π/2
    2×0.43354566886568-π/2
    0.86709133773136-1.57079632675     		φ = -0.70370499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70370499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.319326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58070 KachelY 81603 -0.35789689 -0.70370499 -20.505981 -40.319326
    Oben rechts KachelX + 1 58071 KachelY 81603 -0.35784896 -0.70370499 -20.503235 -40.319326
    Unten links KachelX 58070 KachelY + 1 81604 -0.35789689 -0.70374154 -20.505981 -40.321420
    Unten rechts KachelX + 1 58071 KachelY + 1 81604 -0.35784896 -0.70374154 -20.503235 -40.321420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70370499--0.70374154) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dl = 232.860050000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70370499--0.70374154) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dr = 232.860050000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35789689--0.35784896) × cos(-0.70370499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762450123186502 × 6371000     		do = 232.823317390123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35789689--0.35784896) × cos(-0.70374154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762426473109676 × 6371000     		du = 232.816095554654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70370499)-sin(-0.70374154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762450123186502-0.762426473109676)×R²
    abs(-0.35784896--0.35789689)×2.36500768261427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36500768261427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36500768261427e-05×40589641000000     		ar = 54214.4084961647m²