Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58070 / 28022
↖ ↑ ↗
← N 71.196609°
W 20.505981°		 ← 98.42 m → N 71.196609°
W 20.503235°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 71.195724°
W 20.505981°		 ← 98.43 m →
9 688 m²		 N 71.195724°
W 20.503235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443042755126953 y=0.213794708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443042755126953 × 217)
    floor (0.443042755126953 × 131072)
    floor (58070.5)     		tx = 58070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213794708251953 × 217)
    floor (0.213794708251953 × 131072)
    floor (28022.5)     		ty = 28022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58070 / 28022 ti = "17/58070/28022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58070/28022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58070 ÷ 217
    58070 ÷ 131072     		x = 0.443038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28022 ÷ 217
    28022 ÷ 131072     		y = 0.213790893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443038940429688 × 2 - 1) × π
    -0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213790893554688 × 2 - 1) × π
    0.572418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79830485234679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35789689} λ = -0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79830485234679))-π/2
    2×atan(6.03940110570993)-π/2
    2×1.40670578292661-π/2
    2.81341156585322-1.57079632675     		φ = 1.24261524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24261524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.196609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58070 KachelY 28022 -0.35789689 1.24261524 -20.505981 71.196609
    Oben rechts KachelX + 1 58071 KachelY 28022 -0.35784896 1.24261524 -20.503235 71.196609
    Unten links KachelX 58070 KachelY + 1 28023 -0.35789689 1.24259979 -20.505981 71.195724
    Unten rechts KachelX + 1 58071 KachelY + 1 28023 -0.35784896 1.24259979 -20.503235 71.195724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24261524-1.24259979) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dl = 98.4319499987634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24261524-1.24259979) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dr = 98.4319499987634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35789689--0.35784896) × cos(1.24261524) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322321724393322 × 6371000     		do = 98.4248160739054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35789689--0.35784896) × cos(1.24259979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3223363497912 × 6371000     		du = 98.4292821150912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24261524)-sin(1.24259979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322321724393322-0.3223363497912)×R²
    abs(-0.35784896--0.35789689)×1.46253978784427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46253978784427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46253978784427e-05×40589641000000     		ar = 9688.36637503354m²