Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58068 / 86346
↖ ↑ ↗
← S 49.514510°
W 20.511475°		 ← 198.30 m → S 49.514510°
W 20.508728°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
S 49.516293°
W 20.511475°		 ← 198.29 m →
39 315 m²		 S 49.516293°
W 20.508728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443027496337891 y=0.658771514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443027496337891 × 217)
    floor (0.443027496337891 × 131072)
    floor (58068.5)     		tx = 58068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658771514892578 × 217)
    floor (0.658771514892578 × 131072)
    floor (86346.5)     		ty = 86346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58068 / 86346 ti = "17/58068/86346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58068/86346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58068 ÷ 217
    58068 ÷ 131072     		x = 0.443023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86346 ÷ 217
    86346 ÷ 131072     		y = 0.658767700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658767700195312 × 2 - 1) × π
    -0.317535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.997566881093369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35799277} λ = -0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997566881093369))-π/2
    2×atan(0.368775625414408)-π/2
    2×0.353302548923238-π/2
    0.706605097846476-1.57079632675     		φ = -0.86419123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86419123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.514510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58068 KachelY 86346 -0.35799277 -0.86419123 -20.511475 -49.514510
    Oben rechts KachelX + 1 58069 KachelY 86346 -0.35794483 -0.86419123 -20.508728 -49.514510
    Unten links KachelX 58068 KachelY + 1 86347 -0.35799277 -0.86422235 -20.511475 -49.516293
    Unten rechts KachelX + 1 58069 KachelY + 1 86347 -0.35794483 -0.86422235 -20.508728 -49.516293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86419123--0.86422235) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86419123--0.86422235) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.86419123) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		do = 198.299327638336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35799277--0.35794483) × cos(-0.86422235) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649231785229543 × 6371000     		du = 198.292098435354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86419123)-sin(-0.86422235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649255454495213-0.649231785229543)×R²
    abs(-0.35794483--0.35799277)×2.3669265670212e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3669265670212e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3669265670212e-05×40589641000000     		ar = 39315.2026622746m²