Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58067 / 81681
↖ ↑ ↗
← S 40.482471°
W 20.514221°		 ← 232.26 m → S 40.482471°
W 20.511475°		 →
↑
232.29 m
↓
↑
232.29 m
↓
S 40.484560°
W 20.514221°		 ← 232.25 m →
53 950 m²		 S 40.484560°
W 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443019866943359 y=0.623180389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443019866943359 × 217)
    floor (0.443019866943359 × 131072)
    floor (58067.5)     		tx = 58067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623180389404297 × 217)
    floor (0.623180389404297 × 131072)
    floor (81681.5)     		ty = 81681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58067 / 81681 ti = "17/58067/81681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58067/81681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58067 ÷ 217
    58067 ÷ 131072     		x = 0.443016052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81681 ÷ 217
    81681 ÷ 131072     		y = 0.623176574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443016052246094 × 2 - 1) × π
    -0.113967895507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35804070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623176574707031 × 2 - 1) × π
    -0.246353149414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.773941244365807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35804070} λ = -0.35804070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773941244365807))-π/2
    2×atan(0.461191812030006)-π/2
    2×0.432121963408039-π/2
    0.864243926816079-1.57079632675     		φ = -0.70655240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35804070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.514221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70655240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.482471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58067 KachelY 81681 -0.35804070 -0.70655240 -20.514221 -40.482471
    Oben rechts KachelX + 1 58068 KachelY 81681 -0.35799277 -0.70655240 -20.511475 -40.482471
    Unten links KachelX 58067 KachelY + 1 81682 -0.35804070 -0.70658886 -20.514221 -40.484560
    Unten rechts KachelX + 1 58068 KachelY + 1 81682 -0.35799277 -0.70658886 -20.511475 -40.484560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70655240--0.70658886) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dl = 232.286660000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70655240--0.70658886) × R
    3.64600000000159e-05 × 6371000     		dr = 232.286660000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35804070--0.35799277) × cos(-0.70655240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.760604626728081 × 6371000     		do = 232.259772844952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35804070--0.35799277) × cos(-0.70658886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.760580955830003 × 6371000     		du = 232.252544651463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70655240)-sin(-0.70658886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760604626728081-0.760580955830003)×R²
    abs(-0.35799277--0.35804070)×2.36708980776434e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36708980776434e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36708980776434e-05×40589641000000     		ar = 53950.0073860571m²