Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58066 / 86338
↖ ↑ ↗
← S 49.500242°
W 20.516968°		 ← 198.36 m → S 49.500242°
W 20.514221°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.502026°
W 20.516968°		 ← 198.35 m →
39 339 m²		 S 49.502026°
W 20.514221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443012237548828 y=0.658710479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443012237548828 × 217)
    floor (0.443012237548828 × 131072)
    floor (58066.5)     		tx = 58066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658710479736328 × 217)
    floor (0.658710479736328 × 131072)
    floor (86338.5)     		ty = 86338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58066 / 86338 ti = "17/58066/86338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58066/86338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58066 ÷ 217
    58066 ÷ 131072     		x = 0.443008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86338 ÷ 217
    86338 ÷ 131072     		y = 0.658706665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443008422851562 × 2 - 1) × π
    -0.113983154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35808864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658706665039062 × 2 - 1) × π
    -0.317413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997183385896408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35808864} λ = -0.35808864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997183385896408))-π/2
    2×atan(0.368917076216628)-π/2
    2×0.353427060253849-π/2
    0.706854120507698-1.57079632675     		φ = -0.86394221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35808864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.516968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86394221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.500242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58066 KachelY 86338 -0.35808864 -0.86394221 -20.516968 -49.500242
    Oben rechts KachelX + 1 58067 KachelY 86338 -0.35804070 -0.86394221 -20.514221 -49.500242
    Unten links KachelX 58066 KachelY + 1 86339 -0.35808864 -0.86397334 -20.516968 -49.502026
    Unten rechts KachelX + 1 58067 KachelY + 1 86339 -0.35804070 -0.86397334 -20.514221 -49.502026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86394221--0.86397334) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86394221--0.86397334) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35808864--0.35804070) × cos(-0.86394221) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649444831607298 × 6371000     		do = 198.357168282934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35808864--0.35804070) × cos(-0.86397334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649421159769388 × 6371000     		du = 198.349938294323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86394221)-sin(-0.86397334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649444831607298-0.649421159769388)×R²
    abs(-0.35804070--0.35808864)×2.36718379106327e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36718379106327e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36718379106327e-05×40589641000000     		ar = 39339.3074947089m²