Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58065 / 81632
↖ ↑ ↗
← S 40.380029°
W 20.519715°		 ← 232.66 m → S 40.380029°
W 20.516968°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
S 40.382120°
W 20.519715°		 ← 232.66 m →
54 118 m²		 S 40.382120°
W 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443004608154297 y=0.622806549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443004608154297 × 217)
    floor (0.443004608154297 × 131072)
    floor (58065.5)     		tx = 58065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622806549072266 × 217)
    floor (0.622806549072266 × 131072)
    floor (81632.5)     		ty = 81632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58065 / 81632 ti = "17/58065/81632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58065/81632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58065 ÷ 217
    58065 ÷ 131072     		x = 0.443000793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81632 ÷ 217
    81632 ÷ 131072     		y = 0.622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443000793457031 × 2 - 1) × π
    -0.113998413085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35813658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35813658} λ = -0.35813658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771592336284424))-π/2
    2×atan(0.462276382483838)-π/2
    2×0.433015939569519-π/2
    0.866031879139039-1.57079632675     		φ = -0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35813658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.519715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58065 KachelY 81632 -0.35813658 -0.70476445 -20.519715 -40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 58066 KachelY 81632 -0.35808864 -0.70476445 -20.516968 -40.380029
    Unten links KachelX 58065 KachelY + 1 81633 -0.35813658 -0.70480096 -20.519715 -40.382120
    Unten rechts KachelX + 1 58066 KachelY + 1 81633 -0.35808864 -0.70480096 -20.516968 -40.382120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70476445--0.70480096) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dl = 232.605210000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70476445--0.70480096) × R
    3.65100000000451e-05 × 6371000     		dr = 232.605210000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35813658--0.35808864) × cos(-0.70476445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 232.662386854909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35813658--0.35808864) × cos(-0.70480096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761740521328288 × 6371000     		du = 232.655162414526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70476445)-sin(-0.70480096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.761740521328288)×R²
    abs(-0.35808864--0.35813658)×2.36536723565717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36536723565717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36536723565717e-05×40589641000000     		ar = 54117.6431383434m²