Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58063 / 28113
↖ ↑ ↗
← N 71.115881°
W 20.525207°		 ← 98.85 m → N 71.115881°
W 20.522461°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
N 71.114993°
W 20.525207°		 ← 98.86 m →
9 768 m²		 N 71.114993°
W 20.522461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442989349365234 y=0.214488983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442989349365234 × 217)
    floor (0.442989349365234 × 131072)
    floor (58063.5)     		tx = 58063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214488983154297 × 217)
    floor (0.214488983154297 × 131072)
    floor (28113.5)     		ty = 28113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58063 / 28113 ti = "17/58063/28113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58063/28113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58063 ÷ 217
    58063 ÷ 131072     		x = 0.442985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28113 ÷ 217
    28113 ÷ 131072     		y = 0.214485168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442985534667969 × 2 - 1) × π
    -0.114028930664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35823245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214485168457031 × 2 - 1) × π
    0.571029663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79394259448136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35823245} λ = -0.35823245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79394259448136))-π/2
    2×atan(6.01311306003799)-π/2
    2×1.40600130436667-π/2
    2.81200260873334-1.57079632675     		φ = 1.24120628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35823245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.525207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24120628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.115881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58063 KachelY 28113 -0.35823245 1.24120628 -20.525207 71.115881
    Oben rechts KachelX + 1 58064 KachelY 28113 -0.35818451 1.24120628 -20.522461 71.115881
    Unten links KachelX 58063 KachelY + 1 28114 -0.35823245 1.24119077 -20.525207 71.114993
    Unten rechts KachelX + 1 58064 KachelY + 1 28114 -0.35818451 1.24119077 -20.522461 71.114993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24120628-1.24119077) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24120628-1.24119077) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35823245--0.35818451) × cos(1.24120628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323655168085239 × 6371000     		do = 98.8526192171937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35823245--0.35818451) × cos(1.24119077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323669843222211 × 6371000     		du = 98.8571013817631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24120628)-sin(1.24119077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323655168085239-0.323669843222211)×R²
    abs(-0.35818451--0.35823245)×1.46751369721754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46751369721754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46751369721754e-05×40589641000000     		ar = 9768.26492551397m²