Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58062 / 81762
↖ ↑ ↗
← S 40.651471°
W 20.527954°		 ← 231.72 m → S 40.651471°
W 20.525207°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 40.653555°
W 20.527954°		 ← 231.72 m →
53 692 m²		 S 40.653555°
W 20.525207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442981719970703 y=0.623798370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442981719970703 × 217)
    floor (0.442981719970703 × 131072)
    floor (58062.5)     		tx = 58062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623798370361328 × 217)
    floor (0.623798370361328 × 131072)
    floor (81762.5)     		ty = 81762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58062 / 81762 ti = "17/58062/81762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58062/81762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58062 ÷ 217
    58062 ÷ 131072     		x = 0.442977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81762 ÷ 217
    81762 ÷ 131072     		y = 0.623794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442977905273438 × 2 - 1) × π
    -0.114044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35828039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623794555664062 × 2 - 1) × π
    -0.247589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.777824133235031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35828039} λ = -0.35828039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777824133235031))-π/2
    2×atan(0.459404527635385)-π/2
    2×0.430647153585354-π/2
    0.861294307170707-1.57079632675     		φ = -0.70950202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35828039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.527954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70950202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.651471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58062 KachelY 81762 -0.35828039 -0.70950202 -20.527954 -40.651471
    Oben rechts KachelX + 1 58063 KachelY 81762 -0.35823245 -0.70950202 -20.525207 -40.651471
    Unten links KachelX 58062 KachelY + 1 81763 -0.35828039 -0.70953839 -20.527954 -40.653555
    Unten rechts KachelX + 1 58063 KachelY + 1 81763 -0.35823245 -0.70953839 -20.525207 -40.653555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70950202--0.70953839) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dl = 231.71327000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70950202--0.70953839) × R
    3.63700000000078e-05 × 6371000     		dr = 231.71327000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35828039--0.35823245) × cos(-0.70950202) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758686382127551 × 6371000     		do = 231.722349689346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35828039--0.35823245) × cos(-0.70953839) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758662688169553 × 6371000     		du = 231.715112944691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70950202)-sin(-0.70953839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758686382127551-0.758662688169553)×R²
    abs(-0.35823245--0.35828039)×2.36939579983941e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36939579983941e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36939579983941e-05×40589641000000     		ar = 53692.3049598271m²