Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58061 / 81613
↖ ↑ ↗
← S 40.340264°
W 20.530700°		 ← 232.75 m → S 40.340264°
W 20.527954°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.342357°
W 20.530700°		 ← 232.74 m →
54 168 m²		 S 40.342357°
W 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442974090576172 y=0.622661590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442974090576172 × 217)
    floor (0.442974090576172 × 131072)
    floor (58061.5)     		tx = 58061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622661590576172 × 217)
    floor (0.622661590576172 × 131072)
    floor (81613.5)     		ty = 81613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58061 / 81613 ti = "17/58061/81613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58061/81613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58061 ÷ 217
    58061 ÷ 131072     		x = 0.442970275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81613 ÷ 217
    81613 ÷ 131072     		y = 0.622657775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442970275878906 × 2 - 1) × π
    -0.114059448242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35832832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622657775878906 × 2 - 1) × π
    -0.245315551757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.770681535191643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35832832} λ = -0.35832832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770681535191643))-π/2
    2×atan(0.462697616119079)-π/2
    2×0.433362949733351-π/2
    0.866725899466703-1.57079632675     		φ = -0.70407043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35832832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.530700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70407043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.340264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58061 KachelY 81613 -0.35832832 -0.70407043 -20.530700 -40.340264
    Oben rechts KachelX + 1 58062 KachelY 81613 -0.35828039 -0.70407043 -20.527954 -40.340264
    Unten links KachelX 58061 KachelY + 1 81614 -0.35832832 -0.70410696 -20.530700 -40.342357
    Unten rechts KachelX + 1 58062 KachelY + 1 81614 -0.35828039 -0.70410696 -20.527954 -40.342357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70407043--0.70410696) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dl = 232.732629999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70407043--0.70410696) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dr = 232.732629999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(-0.70407043) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762213615427835 × 6371000     		do = 232.751096900556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(-0.70410696) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762189968115896 × 6371000     		du = 232.743875909378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70407043)-sin(-0.70410696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762213615427835-0.762189968115896)×R²
    abs(-0.35828039--0.35832832)×2.36473119382685e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36473119382685e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36473119382685e-05×40589641000000     		ar = 54167.9346427745m²