Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58061 / 38353
↖ ↑ ↗
← N 59.599706°
W 20.530700°		 ← 154.52 m → N 59.599706°
W 20.527954°		 →
↑
154.56 m
↓
↑
154.56 m
↓
N 59.598316°
W 20.530700°		 ← 154.53 m →
23 884 m²		 N 59.598316°
W 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442974090576172 y=0.292613983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442974090576172 × 217)
    floor (0.442974090576172 × 131072)
    floor (58061.5)     		tx = 58061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292613983154297 × 217)
    floor (0.292613983154297 × 131072)
    floor (38353.5)     		ty = 38353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58061 / 38353 ti = "17/58061/38353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58061/38353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58061 ÷ 217
    58061 ÷ 131072     		x = 0.442970275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38353 ÷ 217
    38353 ÷ 131072     		y = 0.292610168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442970275878906 × 2 - 1) × π
    -0.114059448242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35832832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292610168457031 × 2 - 1) × π
    0.414779663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.30306874237199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35832832} λ = -0.35832832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30306874237199))-π/2
    2×atan(3.68057408867836)-π/2
    2×1.30550371173851-π/2
    2.61100742347701-1.57079632675     		φ = 1.04021110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35832832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.530700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04021110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.599706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58061 KachelY 38353 -0.35832832 1.04021110 -20.530700 59.599706
    Oben rechts KachelX + 1 58062 KachelY 38353 -0.35828039 1.04021110 -20.527954 59.599706
    Unten links KachelX 58061 KachelY + 1 38354 -0.35832832 1.04018684 -20.530700 59.598316
    Unten rechts KachelX + 1 58062 KachelY + 1 38354 -0.35828039 1.04018684 -20.527954 59.598316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04021110-1.04018684) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dl = 154.560459999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04021110-1.04018684) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dr = 154.560459999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(1.04021110) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.50603819242236 × 6371000     		do = 154.524849695538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35832832--0.35828039) × cos(1.04018684) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.506059116792029 × 6371000     		du = 154.531239203537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04021110)-sin(1.04018684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50603819242236-0.506059116792029)×R²
    abs(-0.35828039--0.35832832)×2.0924369669606e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0924369669606e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0924369669606e-05×40589641000000     		ar = 23883.9256342778m²