Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58060 / 81616
↖ ↑ ↗
← S 40.346544°
W 20.533447°		 ← 232.78 m → S 40.346544°
W 20.530700°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.348637°
W 20.533447°		 ← 232.77 m →
54 174 m²		 S 40.348637°
W 20.530700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442966461181641 y=0.622684478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442966461181641 × 217)
    floor (0.442966461181641 × 131072)
    floor (58060.5)     		tx = 58060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622684478759766 × 217)
    floor (0.622684478759766 × 131072)
    floor (81616.5)     		ty = 81616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58060 / 81616 ti = "17/58060/81616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58060/81616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58060 ÷ 217
    58060 ÷ 131072     		x = 0.442962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81616 ÷ 217
    81616 ÷ 131072     		y = 0.6226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.11407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35837626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770825345890503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35837626} λ = -0.35837626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770825345890503))-π/2
    2×atan(0.462631080035959)-π/2
    2×0.433308145047967-π/2
    0.866616290095934-1.57079632675     		φ = -0.70418004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35837626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.533447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70418004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.346544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58060 KachelY 81616 -0.35837626 -0.70418004 -20.533447 -40.346544
    Oben rechts KachelX + 1 58061 KachelY 81616 -0.35832832 -0.70418004 -20.530700 -40.346544
    Unten links KachelX 58060 KachelY + 1 81617 -0.35837626 -0.70421657 -20.533447 -40.348637
    Unten rechts KachelX + 1 58061 KachelY + 1 81617 -0.35832832 -0.70421657 -20.530700 -40.348637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70418004--0.70421657) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70418004--0.70421657) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35837626--0.35832832) × cos(-0.70418004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762142657492576 × 6371000     		do = 232.777985150354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35837626--0.35832832) × cos(-0.70421657) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762119007128884 × 6371000     		du = 232.770761720521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70418004)-sin(-0.70421657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762142657492576-0.762119007128884)×R²
    abs(-0.35832832--0.35837626)×2.36503636928953e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36503636928953e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36503636928953e-05×40589641000000     		ar = 54174.1921324312m²