Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58059 / 85546
↖ ↑ ↗
← S 48.067068°
W 20.536194°		 ← 204.10 m → S 48.067068°
W 20.533447°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
S 48.068903°
W 20.536194°		 ← 204.10 m →
41 649 m²		 S 48.068903°
W 20.533447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442958831787109 y=0.652667999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442958831787109 × 217)
    floor (0.442958831787109 × 131072)
    floor (58059.5)     		tx = 58059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652667999267578 × 217)
    floor (0.652667999267578 × 131072)
    floor (85546.5)     		ty = 85546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58059 / 85546 ti = "17/58059/85546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58059/85546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58059 ÷ 217
    58059 ÷ 131072     		x = 0.442955017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85546 ÷ 217
    85546 ÷ 131072     		y = 0.652664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442955017089844 × 2 - 1) × π
    -0.114089965820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35842420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.305328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.959217361397324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35842420} λ = -0.35842420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959217361397324))-π/2
    2×atan(0.383192670024349)-π/2
    2×0.365933868301383-π/2
    0.731867736602767-1.57079632675     		φ = -0.83892859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35842420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.536194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83892859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.067068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58059 KachelY 85546 -0.35842420 -0.83892859 -20.536194 -48.067068
    Oben rechts KachelX + 1 58060 KachelY 85546 -0.35837626 -0.83892859 -20.533447 -48.067068
    Unten links KachelX 58059 KachelY + 1 85547 -0.35842420 -0.83896062 -20.536194 -48.068903
    Unten rechts KachelX + 1 58060 KachelY + 1 85547 -0.35837626 -0.83896062 -20.533447 -48.068903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83892859--0.83896062) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dl = 204.063130000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83892859--0.83896062) × R
    3.20300000000717e-05 × 6371000     		dr = 204.063130000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35842420--0.35837626) × cos(-0.83892859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668260260677115 × 6371000     		do = 204.103884630003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35842420--0.35837626) × cos(-0.83896062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668236432334377 × 6371000     		du = 204.09660684079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83892859)-sin(-0.83896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668260260677115-0.668236432334377)×R²
    abs(-0.35837626--0.35842420)×2.38283427377306e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38283427377306e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38283427377306e-05×40589641000000     		ar = 41649.3349821269m²