Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58058 / 85708
↖ ↑ ↗
← S 48.363549°
W 20.538941°		 ← 202.93 m → S 48.363549°
W 20.536194°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.365373°
W 20.538941°		 ← 202.92 m →
41 163 m²		 S 48.365373°
W 20.536194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442951202392578 y=0.653903961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442951202392578 × 217)
    floor (0.442951202392578 × 131072)
    floor (58058.5)     		tx = 58058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653903961181641 × 217)
    floor (0.653903961181641 × 131072)
    floor (85708.5)     		ty = 85708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58058 / 85708 ti = "17/58058/85708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58058/85708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58058 ÷ 217
    58058 ÷ 131072     		x = 0.442947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85708 ÷ 217
    85708 ÷ 131072     		y = 0.653900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    -0.114105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35847214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.30780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966983139135773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35847214} λ = -0.35847214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966983139135773))-π/2
    2×atan(0.380228405724012)-π/2
    2×0.363346580375596-π/2
    0.726693160751193-1.57079632675     		φ = -0.84410317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35847214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.538941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84410317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.363549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58058 KachelY 85708 -0.35847214 -0.84410317 -20.538941 -48.363549
    Oben rechts KachelX + 1 58059 KachelY 85708 -0.35842420 -0.84410317 -20.536194 -48.363549
    Unten links KachelX 58058 KachelY + 1 85709 -0.35847214 -0.84413501 -20.538941 -48.365373
    Unten rechts KachelX + 1 58059 KachelY + 1 85709 -0.35842420 -0.84413501 -20.536194 -48.365373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84410317--0.84413501) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84410317--0.84413501) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.84410317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664401818408641 × 6371000     		do = 202.925417044672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.84413501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664378021634119 × 6371000     		du = 202.918148897204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84410317)-sin(-0.84413501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664401818408641-0.664378021634119)×R²
    abs(-0.35842420--0.35847214)×2.37967745219114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37967745219114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37967745219114e-05×40589641000000     		ar = 41163.2193927539m²