Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58058 / 81711
↖ ↑ ↗
← S 40.545113°
W 20.538941°		 ← 232.09 m → S 40.545113°
W 20.536194°		 →
↑
232.10 m
↓
↑
232.10 m
↓
S 40.547200°
W 20.538941°		 ← 232.08 m →
53 867 m²		 S 40.547200°
W 20.536194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442951202392578 y=0.623409271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442951202392578 × 217)
    floor (0.442951202392578 × 131072)
    floor (58058.5)     		tx = 58058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623409271240234 × 217)
    floor (0.623409271240234 × 131072)
    floor (81711.5)     		ty = 81711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58058 / 81711 ti = "17/58058/81711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58058/81711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58058 ÷ 217
    58058 ÷ 131072     		x = 0.442947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81711 ÷ 217
    81711 ÷ 131072     		y = 0.623405456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    -0.114105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35847214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623405456542969 × 2 - 1) × π
    -0.246810913085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.775379351354408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35847214} λ = -0.35847214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775379351354408))-π/2
    2×atan(0.460529045540825)-π/2
    2×0.431575303334268-π/2
    0.863150606668536-1.57079632675     		φ = -0.70764572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35847214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.538941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70764572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.545113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58058 KachelY 81711 -0.35847214 -0.70764572 -20.538941 -40.545113
    Oben rechts KachelX + 1 58059 KachelY 81711 -0.35842420 -0.70764572 -20.536194 -40.545113
    Unten links KachelX 58058 KachelY + 1 81712 -0.35847214 -0.70768215 -20.538941 -40.547200
    Unten rechts KachelX + 1 58059 KachelY + 1 81712 -0.35842420 -0.70768215 -20.536194 -40.547200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70764572--0.70768215) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dl = 232.095529999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70764572--0.70768215) × R
    3.64299999999762e-05 × 6371000     		dr = 232.095529999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.70764572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75989437212302 × 6371000     		do = 232.091300927356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35847214--0.35842420) × cos(-0.70768215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759870690422234 × 6371000     		du = 232.084067926369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70764572)-sin(-0.70768215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75989437212302-0.759870690422234)×R²
    abs(-0.35842420--0.35847214)×2.3681700786149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3681700786149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3681700786149e-05×40589641000000     		ar = 53866.5141293301m²