Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58057 / 81609
↖ ↑ ↗
← S 40.331890°
W 20.541687°		 ← 232.78 m → S 40.331890°
W 20.538941°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 40.333983°
W 20.541687°		 ← 232.77 m →
54 189 m²		 S 40.333983°
W 20.538941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442943572998047 y=0.622631072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442943572998047 × 217)
    floor (0.442943572998047 × 131072)
    floor (58057.5)     		tx = 58057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622631072998047 × 217)
    floor (0.622631072998047 × 131072)
    floor (81609.5)     		ty = 81609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58057 / 81609 ti = "17/58057/81609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58057/81609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58057 ÷ 217
    58057 ÷ 131072     		x = 0.442939758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81609 ÷ 217
    81609 ÷ 131072     		y = 0.622627258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442939758300781 × 2 - 1) × π
    -0.114120483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35852007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622627258300781 × 2 - 1) × π
    -0.245254516601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.770489787593163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35852007} λ = -0.35852007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770489787593163))-π/2
    2×atan(0.46278634578237)-π/2
    2×0.433436030583819-π/2
    0.866872061167637-1.57079632675     		φ = -0.70392427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35852007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.541687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70392427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.331890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58057 KachelY 81609 -0.35852007 -0.70392427 -20.541687 -40.331890
    Oben rechts KachelX + 1 58058 KachelY 81609 -0.35847214 -0.70392427 -20.538941 -40.331890
    Unten links KachelX 58057 KachelY + 1 81610 -0.35852007 -0.70396081 -20.541687 -40.333983
    Unten rechts KachelX + 1 58058 KachelY + 1 81610 -0.35847214 -0.70396081 -20.538941 -40.333983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70392427--0.70396081) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70392427--0.70396081) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35852007--0.35847214) × cos(-0.70392427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76230822039255 × 6371000     		do = 232.779985664899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35852007--0.35847214) × cos(-0.70396081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76228457067801 × 6371000     		du = 232.772763940058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70392427)-sin(-0.70396081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76230822039255-0.76228457067801)×R²
    abs(-0.35847214--0.35852007)×2.36497145392756e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36497145392756e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36497145392756e-05×40589641000000     		ar = 54189.4880984973m²