Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58056 / 86344
↖ ↑ ↗
← S 49.510944°
W 20.544434°		 ← 198.31 m → S 49.510944°
W 20.541687°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.512727°
W 20.544434°		 ← 198.31 m →
39 331 m²		 S 49.512727°
W 20.541687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442935943603516 y=0.658756256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442935943603516 × 217)
    floor (0.442935943603516 × 131072)
    floor (58056.5)     		tx = 58056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658756256103516 × 217)
    floor (0.658756256103516 × 131072)
    floor (86344.5)     		ty = 86344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58056 / 86344 ti = "17/58056/86344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58056/86344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58056 ÷ 217
    58056 ÷ 131072     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86344 ÷ 217
    86344 ÷ 131072     		y = 0.65875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997471007294128))-π/2
    2×atan(0.368810983029591)-π/2
    2×0.35333367335157-π/2
    0.70666734670314-1.57079632675     		φ = -0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58056 KachelY 86344 -0.35856801 -0.86412898 -20.544434 -49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 58057 KachelY 86344 -0.35852007 -0.86412898 -20.541687 -49.510944
    Unten links KachelX 58056 KachelY + 1 86345 -0.35856801 -0.86416011 -20.544434 -49.512727
    Unten rechts KachelX + 1 58057 KachelY + 1 86345 -0.35852007 -0.86416011 -20.541687 -49.512727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86412898--0.86416011) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86412898--0.86416011) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35852007) × cos(-0.86412898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 198.313787790788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35852007) × cos(-0.86416011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649279123132109 × 6371000     		du = 198.306556649045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86412898)-sin(-0.86416011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649279123132109)×R²
    abs(-0.35852007--0.35856801)×2.3675613398666e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3675613398666e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3675613398666e-05×40589641000000     		ar = 39330.7037606645m²