Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58056 / 81669
↖ ↑ ↗
← S 40.457397°
W 20.544434°		 ← 232.39 m → S 40.457397°
W 20.541687°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
S 40.459487°
W 20.544434°		 ← 232.39 m →
53 996 m²		 S 40.459487°
W 20.541687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442935943603516 y=0.623088836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442935943603516 × 217)
    floor (0.442935943603516 × 131072)
    floor (58056.5)     		tx = 58056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623088836669922 × 217)
    floor (0.623088836669922 × 131072)
    floor (81669.5)     		ty = 81669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58056 / 81669 ti = "17/58056/81669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58056/81669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58056 ÷ 217
    58056 ÷ 131072     		x = 0.44293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81669 ÷ 217
    81669 ÷ 131072     		y = 0.623085021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623085021972656 × 2 - 1) × π
    -0.246170043945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.773366001570366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35856801} λ = -0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773366001570366))-π/2
    2×atan(0.461457185616997)-π/2
    2×0.432340770421818-π/2
    0.864681540843635-1.57079632675     		φ = -0.70611479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70611479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.457397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58056 KachelY 81669 -0.35856801 -0.70611479 -20.544434 -40.457397
    Oben rechts KachelX + 1 58057 KachelY 81669 -0.35852007 -0.70611479 -20.541687 -40.457397
    Unten links KachelX 58056 KachelY + 1 81670 -0.35856801 -0.70615126 -20.544434 -40.459487
    Unten rechts KachelX + 1 58057 KachelY + 1 81670 -0.35852007 -0.70615126 -20.541687 -40.459487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70611479--0.70615126) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70611479--0.70615126) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35856801--0.35852007) × cos(-0.70611479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760888657029969 × 6371000     		do = 232.394981130832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35856801--0.35852007) × cos(-0.70615126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.760864991780512 × 6371000     		du = 232.387753154504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70611479)-sin(-0.70615126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760888657029969-0.760864991780512)×R²
    abs(-0.35852007--0.35856801)×2.36652494572942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36652494572942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36652494572942e-05×40589641000000     		ar = 53996.2201461801m²