Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58054 / 86750
↖ ↑ ↗
← S 50.229638°
W 20.549927°		 ← 195.34 m → S 50.229638°
W 20.547180°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
S 50.231395°
W 20.549927°		 ← 195.34 m →
38 169 m²		 S 50.231395°
W 20.547180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442920684814453 y=0.661853790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442920684814453 × 217)
    floor (0.442920684814453 × 131072)
    floor (58054.5)     		tx = 58054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661853790283203 × 217)
    floor (0.661853790283203 × 131072)
    floor (86750.5)     		ty = 86750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58054 / 86750 ti = "17/58054/86750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58054/86750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58054 ÷ 217
    58054 ÷ 131072     		x = 0.442916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86750 ÷ 217
    86750 ÷ 131072     		y = 0.661849975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661849975585938 × 2 - 1) × π
    -0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35866388} λ = -0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01693338853987))-π/2
    2×atan(0.361702442020084)-π/2
    2×0.347061881530802-π/2
    0.694123763061603-1.57079632675     		φ = -0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58054 KachelY 86750 -0.35866388 -0.87667256 -20.549927 -50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 58055 KachelY 86750 -0.35861595 -0.87667256 -20.547180 -50.229638
    Unten links KachelX 58054 KachelY + 1 86751 -0.35866388 -0.87670323 -20.549927 -50.231395
    Unten rechts KachelX + 1 58055 KachelY + 1 86751 -0.35861595 -0.87670323 -20.547180 -50.231395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87667256--0.87670323) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dl = 195.398569999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87667256--0.87670323) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dr = 195.398569999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35866388--0.35861595) × cos(-0.87667256) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 195.343815892055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35866388--0.35861595) × cos(-0.87670323) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639688625912798 × 6371000     		du = 195.336617376536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87667256)-sin(-0.87670323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639688625912798)×R²
    abs(-0.35861595--0.35866388)×2.35737086218268e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35737086218268e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35737086218268e-05×40589641000000     		ar = 38169.1989965613m²