Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58054 / 86261
↖ ↑ ↗
← S 49.362700°
W 20.549927°		 ← 198.87 m → S 49.362700°
W 20.547180°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 49.364489°
W 20.549927°		 ← 198.87 m →
39 556 m²		 S 49.364489°
W 20.547180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442920684814453 y=0.658123016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442920684814453 × 217)
    floor (0.442920684814453 × 131072)
    floor (58054.5)     		tx = 58054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658123016357422 × 217)
    floor (0.658123016357422 × 131072)
    floor (86261.5)     		ty = 86261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58054 / 86261 ti = "17/58054/86261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58054/86261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58054 ÷ 217
    58054 ÷ 131072     		x = 0.442916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86261 ÷ 217
    86261 ÷ 131072     		y = 0.658119201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442916870117188 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658119201660156 × 2 - 1) × π
    -0.316238403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.993492244625664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35866388} λ = -0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993492244625664))-π/2
    2×atan(0.370281317516889)-π/2
    2×0.354627339088103-π/2
    0.709254678176206-1.57079632675     		φ = -0.86154165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86154165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.362700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58054 KachelY 86261 -0.35866388 -0.86154165 -20.549927 -49.362700
    Oben rechts KachelX + 1 58055 KachelY 86261 -0.35861595 -0.86154165 -20.547180 -49.362700
    Unten links KachelX 58054 KachelY + 1 86262 -0.35866388 -0.86157287 -20.549927 -49.364489
    Unten rechts KachelX + 1 58055 KachelY + 1 86262 -0.35861595 -0.86157287 -20.547180 -49.364489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86154165--0.86157287) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86154165--0.86157287) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35866388--0.35861595) × cos(-0.86154165) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651268365320828 × 6371000     		do = 198.872630109041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35866388--0.35861595) × cos(-0.86157287) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		du = 198.865395613486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86154165)-sin(-0.86157287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651268365320828-0.651244673784735)×R²
    abs(-0.35861595--0.35866388)×2.36915360927181e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36915360927181e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36915360927181e-05×40589641000000     		ar = 39555.5676982333m²