Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58053 / 81651
↖ ↑ ↗
← S 40.419769°
W 20.552673°		 ← 232.53 m → S 40.419769°
W 20.549927°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 40.421860°
W 20.552673°		 ← 232.52 m →
54 056 m²		 S 40.421860°
W 20.549927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442913055419922 y=0.622951507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442913055419922 × 217)
    floor (0.442913055419922 × 131072)
    floor (58053.5)     		tx = 58053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622951507568359 × 217)
    floor (0.622951507568359 × 131072)
    floor (81651.5)     		ty = 81651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58053 / 81651 ti = "17/58053/81651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58053/81651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58053 ÷ 217
    58053 ÷ 131072     		x = 0.442909240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81651 ÷ 217
    81651 ÷ 131072     		y = 0.622947692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442909240722656 × 2 - 1) × π
    -0.114181518554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35871182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622947692871094 × 2 - 1) × π
    -0.245895385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.772503137377205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35871182} λ = -0.35871182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772503137377205))-π/2
    2×atan(0.461855532333986)-π/2
    2×0.432669134104339-π/2
    0.865338268208678-1.57079632675     		φ = -0.70545806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35871182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.552673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70545806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.419769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58053 KachelY 81651 -0.35871182 -0.70545806 -20.552673 -40.419769
    Oben rechts KachelX + 1 58054 KachelY 81651 -0.35866388 -0.70545806 -20.549927 -40.419769
    Unten links KachelX 58053 KachelY + 1 81652 -0.35871182 -0.70549455 -20.552673 -40.421860
    Unten rechts KachelX + 1 58054 KachelY + 1 81652 -0.35866388 -0.70549455 -20.549927 -40.421860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70545806--0.70549455) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70545806--0.70549455) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35871182--0.35866388) × cos(-0.70545806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761314633496213 × 6371000     		do = 232.525085308526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35871182--0.35866388) × cos(-0.70549455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761290973507367 × 6371000     		du = 232.517858938925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70545806)-sin(-0.70549455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761314633496213-0.761290973507367)×R²
    abs(-0.35866388--0.35871182)×2.36599888457922e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36599888457922e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36599888457922e-05×40589641000000     		ar = 54056.0779729774m²