Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58052 / 84410
↖ ↑ ↗
← S 45.939691°
W 20.555420°		 ← 212.40 m → S 45.939691°
W 20.552673°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
S 45.941601°
W 20.555420°		 ← 212.39 m →
45 114 m²		 S 45.941601°
W 20.552673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442905426025391 y=0.644001007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442905426025391 × 217)
    floor (0.442905426025391 × 131072)
    floor (58052.5)     		tx = 58052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644001007080078 × 217)
    floor (0.644001007080078 × 131072)
    floor (84410.5)     		ty = 84410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58052 / 84410 ti = "17/58052/84410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58052/84410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58052 ÷ 217
    58052 ÷ 131072     		x = 0.442901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84410 ÷ 217
    84410 ÷ 131072     		y = 0.643997192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.11419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35875976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643997192382812 × 2 - 1) × π
    -0.287994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.90476104342894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35875976} λ = -0.35875976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90476104342894))-π/2
    2×atan(0.404638564595373)-π/2
    2×0.384498732656479-π/2
    0.768997465312957-1.57079632675     		φ = -0.80179886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35875976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.555420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80179886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.939691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58052 KachelY 84410 -0.35875976 -0.80179886 -20.555420 -45.939691
    Oben rechts KachelX + 1 58053 KachelY 84410 -0.35871182 -0.80179886 -20.552673 -45.939691
    Unten links KachelX 58052 KachelY + 1 84411 -0.35875976 -0.80183220 -20.555420 -45.941601
    Unten rechts KachelX + 1 58053 KachelY + 1 84411 -0.35871182 -0.80183220 -20.552673 -45.941601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80179886--0.80183220) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dl = 212.409139999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80179886--0.80183220) × R
    3.33399999999928e-05 × 6371000     		dr = 212.409139999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35875976--0.35871182) × cos(-0.80179886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69541515963006 × 6371000     		do = 212.39768973709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35875976--0.35871182) × cos(-0.80183220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695391200845933 × 6371000     		du = 212.390372107719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80179886)-sin(-0.80183220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69541515963006-0.695391200845933)×R²
    abs(-0.35871182--0.35875976)×2.39587841268651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39587841268651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39587841268651e-05×40589641000000     		ar = 45114.4334534259m²