Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58051 / 81659
↖ ↑ ↗
← S 40.436495°
W 20.558166°		 ← 232.42 m → S 40.436495°
W 20.555420°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 40.438586°
W 20.558166°		 ← 232.41 m →
54 031 m²		 S 40.438586°
W 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442897796630859 y=0.623012542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442897796630859 × 217)
    floor (0.442897796630859 × 131072)
    floor (58051.5)     		tx = 58051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623012542724609 × 217)
    floor (0.623012542724609 × 131072)
    floor (81659.5)     		ty = 81659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58051 / 81659 ti = "17/58051/81659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58051/81659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58051 ÷ 217
    58051 ÷ 131072     		x = 0.442893981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81659 ÷ 217
    81659 ÷ 131072     		y = 0.623008728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442893981933594 × 2 - 1) × π
    -0.114212036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35880769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623008728027344 × 2 - 1) × π
    -0.246017456054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.772886632574165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35880769} λ = -0.35880769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772886632574165))-π/2
    2×atan(0.461678446913521)-π/2
    2×0.432523172001185-π/2
    0.86504634400237-1.57079632675     		φ = -0.70574998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35880769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.558166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70574998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.436495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58051 KachelY 81659 -0.35880769 -0.70574998 -20.558166 -40.436495
    Oben rechts KachelX + 1 58052 KachelY 81659 -0.35875976 -0.70574998 -20.555420 -40.436495
    Unten links KachelX 58051 KachelY + 1 81660 -0.35880769 -0.70578647 -20.558166 -40.438586
    Unten rechts KachelX + 1 58052 KachelY + 1 81660 -0.35875976 -0.70578647 -20.555420 -40.438586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70574998--0.70578647) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70574998--0.70578647) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(-0.70574998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761125325204333 × 6371000     		do = 232.418774388948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(-0.70578647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.761101657106976 × 6371000     		du = 232.411547050692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70574998)-sin(-0.70578647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761125325204333-0.761101657106976)×R²
    abs(-0.35875976--0.35880769)×2.36680973574321e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36680973574321e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36680973574321e-05×40589641000000     		ar = 54031.36293255m²