Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58051 / 28309
↖ ↑ ↗
← N 70.940871°
W 20.558166°		 ← 99.71 m → N 70.940871°
W 20.555420°		 →
↑
99.71 m
↓
↑
99.71 m
↓
N 70.939975°
W 20.558166°		 ← 99.72 m →
9 942 m²		 N 70.939975°
W 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442897796630859 y=0.215984344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442897796630859 × 217)
    floor (0.442897796630859 × 131072)
    floor (58051.5)     		tx = 58051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215984344482422 × 217)
    floor (0.215984344482422 × 131072)
    floor (28309.5)     		ty = 28309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58051 / 28309 ti = "17/58051/28309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58051/28309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58051 ÷ 217
    58051 ÷ 131072     		x = 0.442893981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28309 ÷ 217
    28309 ÷ 131072     		y = 0.215980529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442893981933594 × 2 - 1) × π
    -0.114212036132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35880769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215980529785156 × 2 - 1) × π
    0.568038940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78454696215583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35880769} λ = -0.35880769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78454696215583))-π/2
    2×atan(5.95688064382052)-π/2
    2×1.40447405575888-π/2
    2.80894811151777-1.57079632675     		φ = 1.23815178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35880769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.558166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23815178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.940871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58051 KachelY 28309 -0.35880769 1.23815178 -20.558166 70.940871
    Oben rechts KachelX + 1 58052 KachelY 28309 -0.35875976 1.23815178 -20.555420 70.940871
    Unten links KachelX 58051 KachelY + 1 28310 -0.35880769 1.23813613 -20.558166 70.939975
    Unten rechts KachelX + 1 58052 KachelY + 1 28310 -0.35875976 1.23813613 -20.555420 70.939975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23815178-1.23813613) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dl = 99.7061499995073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23815178-1.23813613) × R
    1.56499999999227e-05 × 6371000     		dr = 99.7061499995073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(1.23815178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326543745608615 × 6371000     		do = 99.7140610429112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35880769--0.35875976) × cos(1.23813613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326558537668325 × 6371000     		du = 99.7185779762922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23815178)-sin(1.23813613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326543745608615-0.326558537668325)×R²
    abs(-0.35875976--0.35880769)×1.47920597101669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47920597101669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47920597101669e-05×40589641000000     		ar = 9942.33031052557m²