Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58047 / 44350
↖ ↑ ↗
← N 50.180416°
W 20.569153°		 ← 195.59 m → N 50.180416°
W 20.566406°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.178657°
W 20.569153°		 ← 195.59 m →
38 255 m²		 N 50.178657°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442867279052734 y=0.338367462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442867279052734 × 217)
    floor (0.442867279052734 × 131072)
    floor (58047.5)     		tx = 58047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338367462158203 × 217)
    floor (0.338367462158203 × 131072)
    floor (44350.5)     		ty = 44350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58047 / 44350 ti = "17/58047/44350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58047/44350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58047 ÷ 217
    58047 ÷ 131072     		x = 0.442863464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44350 ÷ 217
    44350 ÷ 131072     		y = 0.338363647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442863464355469 × 2 - 1) × π
    -0.114273071289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35899944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338363647460938 × 2 - 1) × π
    0.323272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01559115535051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35899944} λ = -0.35899944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01559115535051))-π/2
    2×atan(2.76099509205764)-π/2
    2×1.2233049023128-π/2
    2.4466098046256-1.57079632675     		φ = 0.87581348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35899944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.569153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87581348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.180416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58047 KachelY 44350 -0.35899944 0.87581348 -20.569153 50.180416
    Oben rechts KachelX + 1 58048 KachelY 44350 -0.35895150 0.87581348 -20.566406 50.180416
    Unten links KachelX 58047 KachelY + 1 44351 -0.35899944 0.87578278 -20.569153 50.178657
    Unten rechts KachelX + 1 58048 KachelY + 1 44351 -0.35895150 0.87578278 -20.566406 50.178657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87581348-0.87578278) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87581348-0.87578278) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35899944--0.35895150) × cos(0.87581348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640372264854259 × 6371000     		do = 195.586172868686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35899944--0.35895150) × cos(0.87578278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640395844138354 × 6371000     		du = 195.59337458898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87581348)-sin(0.87578278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640372264854259-0.640395844138354)×R²
    abs(-0.35895150--0.35899944)×2.3579284094799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3579284094799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3579284094799e-05×40589641000000     		ar = 38255.3451696933m²