Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58046 / 38326
↖ ↑ ↗
← N 59.637211°
W 20.571900°		 ← 154.38 m → N 59.637211°
W 20.569153°		 →
↑
154.37 m
↓
↑
154.37 m
↓
N 59.635823°
W 20.571900°		 ← 154.39 m →
23 833 m²		 N 59.635823°
W 20.569153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442859649658203 y=0.292407989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442859649658203 × 217)
    floor (0.442859649658203 × 131072)
    floor (58046.5)     		tx = 58046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292407989501953 × 217)
    floor (0.292407989501953 × 131072)
    floor (38326.5)     		ty = 38326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58046 / 38326 ti = "17/58046/38326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58046/38326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58046 ÷ 217
    58046 ÷ 131072     		x = 0.442855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38326 ÷ 217
    38326 ÷ 131072     		y = 0.292404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.114288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35904738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292404174804688 × 2 - 1) × π
    0.415191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30436303866173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35904738} λ = -0.35904738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30436303866173))-π/2
    2×atan(3.68534092625009)-π/2
    2×1.30583101067119-π/2
    2.61166202134238-1.57079632675     		φ = 1.04086569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35904738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04086569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.637211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58046 KachelY 38326 -0.35904738 1.04086569 -20.571900 59.637211
    Oben rechts KachelX + 1 58047 KachelY 38326 -0.35899944 1.04086569 -20.569153 59.637211
    Unten links KachelX 58046 KachelY + 1 38327 -0.35904738 1.04084146 -20.571900 59.635823
    Unten rechts KachelX + 1 58047 KachelY + 1 38327 -0.35899944 1.04084146 -20.569153 59.635823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04086569-1.04084146) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dl = 154.369329999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04086569-1.04084146) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dr = 154.369329999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35904738--0.35899944) × cos(1.04086569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.505473492924974 × 6371000     		do = 154.384615627072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35904738--0.35899944) × cos(1.04084146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.505494399441495 × 6371000     		du = 154.391001015352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04086569)-sin(1.04084146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505473492924974-0.505494399441495)×R²
    abs(-0.35899944--0.35904738)×2.09065165212019e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09065165212019e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09065165212019e-05×40589641000000     		ar = 23832.742531869m²