Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58046 / 28270
↖ ↑ ↗
← N 70.975819°
W 20.571900°		 ← 99.56 m → N 70.975819°
W 20.569153°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 70.974924°
W 20.571900°		 ← 99.56 m →
9 908 m²		 N 70.974924°
W 20.569153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442859649658203 y=0.215686798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442859649658203 × 217)
    floor (0.442859649658203 × 131072)
    floor (58046.5)     		tx = 58046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215686798095703 × 217)
    floor (0.215686798095703 × 131072)
    floor (28270.5)     		ty = 28270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58046 / 28270 ti = "17/58046/28270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58046/28270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58046 ÷ 217
    58046 ÷ 131072     		x = 0.442855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28270 ÷ 217
    28270 ÷ 131072     		y = 0.215682983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.114288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35904738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215682983398438 × 2 - 1) × π
    0.568634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78641650124101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35904738} λ = -0.35904738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78641650124101))-π/2
    2×atan(5.96802768167465)-π/2
    2×1.4047790293516-π/2
    2.80955805870321-1.57079632675     		φ = 1.23876173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35904738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.571900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23876173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.975819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58046 KachelY 28270 -0.35904738 1.23876173 -20.571900 70.975819
    Oben rechts KachelX + 1 58047 KachelY 28270 -0.35899944 1.23876173 -20.569153 70.975819
    Unten links KachelX 58046 KachelY + 1 28271 -0.35904738 1.23874611 -20.571900 70.974924
    Unten rechts KachelX + 1 58047 KachelY + 1 28271 -0.35899944 1.23874611 -20.569153 70.974924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23876173-1.23874611) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23876173-1.23874611) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35904738--0.35899944) × cos(1.23876173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325967171085404 × 6371000     		do = 99.558764444516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35904738--0.35899944) × cos(1.23874611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325981937898247 × 6371000     		du = 99.5632746092562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23876173)-sin(1.23874611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325967171085404-0.325981937898247)×R²
    abs(-0.35899944--0.35904738)×1.47668128436806e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47668128436806e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47668128436806e-05×40589641000000     		ar = 9907.81684963179m²